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確率の"収束"と収支の分散
- 試行回数を増やすと確率は安定する
- 確率の"収束"
- 収支の分散
- 参考サイト
■ 試行回数を増やすと確率は安定する
BIG 確率が p である独立試行を行ないます。
試行回数を増やしていくと
実戦確率 = BIG 回数 / 試行回数
は、確率 p に近づいていきます。
（ 実戦確率 は 確率 p の値に"収束"している ）
例としてシミュレーション結果をグラフにしてみました。
BIG確率 1/240.941 の試行を10000P行なった結果が下のグラフです。
試行回数を増やすほど、実戦確率は 1/240.941 に近づいていくのがわかります。
誤解しないでほしいのは、確率の"収束"というのは
「 ハマったからこのあと出る！ 」
のような、帳尻合わせ的なものではありません。
数千Pという短期スパンで見れば、引き弱、引き強、平均的に引けたなど様々ですが
それら短期スパンを膨大に集めて平均してみると、
期待値であるBIG確率に近づく、といったものです。
今、数千プレイほど打って引き弱だったからと言って、次の数千プレイがどうなるかはわかりません。
このページ内では、BIG確率が p である試行を繰り返し行なった時の
実戦確率 = BIG 回数 / 試行回数
が、ある一定の範囲に収まった時のことを 「 確率が"収束"した 」
と、便宜上表記しています。
実際には
- 収束するのには無限の試行が必要である
- 確率 p 自体は常に一定なので「 確率が収束する 」という表記はおかしい
のですが、このフレーズが一般的に使われており、理解されやすいことから
敢えてこのように書きました。
|
■ 確率の"収束"
BIG 確率が p である試行において
実戦確率 = BIG 回数 / 試行回数 とします。
試行回数を無限とするなら、実戦確率は確率 p に一致します。
しかし、無限回の試行というのは現実的ではありません。
そこで、実戦確率がある一定の範囲に収まったら
「 確率が"収束"した 」 と、ここではすることにします。
二項分布は、試行回数が大きいと正規分布で近似することができ、
M - 2SD 〜 M + 2SD の範囲に事象の95.45% が含まれます。
n ： 試行回数
p ： BIG 確率
M ： 平均値 = np
SD： 標準偏差 = √(np(1-p))
ここで M - 2SD 〜 M + 2SD が
M * 0.99 〜 M * 1.01
の範囲に収まった場合を 「 確率が"収束" 」 したとします。
p = 1/240.941 のBIG 確率なら、100人中 95.45人が
1/238.555 〜 1/243.375 の範囲に収まった場合です。
M + 2SD = 1.01 * M
2SD = 0.01M
2 * √(np(1-p)) = 0.01 * np
4 * np(1-p) = 0.01^2 * (np)^2
n = 40000 * (1-p)/p
1-p は 1 に近い値なので 1 とすると
n = 40000/p
p = 1/240.941 とすると、
n = 9637640 （ およそ 964万プレイ ： 3.3年間毎日8000P ）
また、 M - 2SD 〜 M + 2SD が M * 0.95 〜 M * 1.05 の範囲に収まった場合を
「 確率が"収束" 」 したとするなら、
（ p = 1/240.941 のBIG 確率で、100人中 95.45人が
1/229.468 〜 1/253.622 の範囲に収まった場合 ）
n = 1600/p
p = 1/240.941 とすると、
n = 385506 （ およそ 39万プレイ ： 48日間毎日8000P ）
ジャグラーにおいて、"収束"させるために必要なプレイ数を表にしてみた。
| | 95% で "収束"する確率の範囲 |
ジャグ設定 1 BIG 確率
p = 1/297.891 | 1/271 〜 1/331
11.9万P | 1/284 〜 1/314
48万P | 1/295 〜 1/301
1192万P |
ジャグ設定 3 BIG 確率
p = 1/260.063 | 1/236 〜 1/289
10.4万P | 1/248 〜 1/274
42万P | 1/257 〜 1/263
1040万P |
ジャグ設定 6 BIG 確率
p = 1/240.941 | 1/219 〜 1/268
9.6万P | 1/230 〜 1/254
39万P | 1/239 〜 1/243
964万P |
次に、プレイ数を指定して、100人中95.45人が
どれほどの範囲の確率に収まるかを計算してみます。
( M + 2SD ) / n = ( np + 2 * √(np(1-p)) ) / n
( M - 2SD ) / n = ( np - 2 * √(np(1-p)) ) / n
の n, p に値を代入して計算するだけです。
| | ジャグ設定1 BIG確率
p = 1/297.891 | ジャグ設定3 BIG確率
p = 1/260.063 | ジャグ設定6 BIG確率
p = 1/240.941 |
| 2000P | 1/168 〜 1/1298 | 1/151 〜 1/928 | 1/142 〜 1/784 |
| 5000P | 1/200 〜 1/581 | 1/179 〜 1/477 | 1/168 〜 1/429 |
| 8000P | 1/215 〜 1/485 | 1/191 〜 1/406 | 1/178 〜 1/369 |
| 10000P | 1/222 〜 1/455 | 1/198 〜 1/384 | 1/184 〜 1/349 |
| 20000P | 1/240 〜 1/394 | 1/212 〜 1/337 | 1/198 〜 1/309 |
| 50000P | 1/258 〜 1/352 | 1/227 〜 1/304 | 1/212 〜 1/280 |
| 10万P | 1/268 〜 1/334 | 1/236 〜 1/289 | 1/219 〜 1/267 |
| 30万P | 1/280 〜 1/318 | 1/246 〜 1/276 | 1/228 〜 1/255 |
| 50万P | 1/284 〜 1/313 | 1/249 〜 1/272 | 1/231 〜 1/252 |
| 100万P | 1/288 〜 1/309 | 1/252 〜 1/269 | 1/234 〜 1/249 |
| 500万P | 1/293 〜 1/303 | 1/256 〜 1/264 | 1/238 〜 1/244 |
| 1000万P | 1/295 〜 1/301 | 1/257 〜 1/263 | 1/239 〜 1/243 |
| 3000万P | 1/296 〜 1/300 | 1/259 〜 1/262 | 1/240 〜 1/242 |
8000P （丸一日ぶん回し）ほどでは、設定1の引き弱で 1/485 。設定6 の引き弱で 1/369。
データからどのくらいの設定だったのかなあと推測するにしても、
100万プレイ（ 4ヶ月間毎日8000P ）は欲しいところですね。
■ 収支の分散
試行回数を増やすと確率は"収束"するのに対して、
収支は期待収支の周りに広く分散してしまいます。
簡単な例を出してみます。
ジャグラーの設定6 （ BIG 確率 1/240.941 ） を二人が 8000P 打ちました。
| | BIG 回数 | BIG 確率（ 実戦値 ） |
| A 氏 | 39回 | 1/205.128 |
| B 氏 | 29回 | 1/275.862 |
A 氏は引き強、B 氏は引き弱でした。
二人の間にはBIG10回分の差がつきました。
BIG1回 385枚 とすると、 10 * 385 * 20 = 77000円の差がついてしまいました。
さて、この後も二人は設定6を掴みつづけ、
設定6をトータルで100万プレイ打ちました。
| | BIG 回数 | BIG 確率（ 実戦値 ） |
| A 氏 | 4237回 | 1/236.016 |
| B 氏 | 4122回 | 1/242.601 |
さすがに100万プレイも打つと、理論値であるBIG 確率 1/240.941 にかなり近づきました。
A氏 は 1/236、B氏は1/243 のBIG確率 （ 実戦値 ）です。
しかし二人には BIG 115回分 = 115 * 385 * 20 = 885500円の差がついてしまっています。
さらに二人は設定6を奪いつづけ、
設定6をトータルで1000万プレイ打ちました。
| | BIG 回数 | BIG 確率（ 実戦値 ） |
| A 氏 | 41810回 | 1/239.177 |
| B 氏 | 41485回 | 1/241.051 |
A氏 は 1/239、B氏は1/241 のBIG確率 （ 実戦値 ）です。
しかし二人には BIG 325回分 = 325 * 385 * 20 = 2502500円の差がついてしまっています。
新車が買えるくらい差がつきました。
二人のBIG確率（実戦値）は"収束"しているのに、収支は分散しています。
なぜ収支は分散するのか。
1/240.941 のBIG確率で、8000P と 20万P の確率分布のグラフをを見てみます。
| グラフ |
 |
 |
| M-2SD | 21.703 (1/368.612) | 772.576 (1/258.874) |
平均値 | 33.203 (1/240.942) | 830.079 (1/240.941) |
M+2SD | 44.704 (1/178.955) | 887.581 (1/225.332) |
試行回数を大きくすると、グラフの山は低くなり、また左右に幅広く分布するようになります。
また、引き強の人と引き弱の人との間で、BIG確率（実戦値）の差は小さくなりますが、BIG回数の差は大きくなります。
BIG回数の差が大きくなれば、収支の差も大きくなります。
確率は"収束"するが、収支は分散する、ということです。
「ということは、結局パチスロなんて引きじゃん。」
となりそうですが、
1/297.891 （GOジャグSP 設定 1 の BIG 確率） と 1/240.941 （GOジャグSP 設定 6 の BIG 確率）
の20万プレイのグラフを出してみました。
| グラフ |
 |
| BIG確率 | 1/297.891 | 1/240.941 |
| M-2SD | 619.651 (1/322.762) | 772.576 (1/258.874) |
平均値 | 671.386 (1/297.891) | 830.079 (1/240.941) |
M+2SD | 723.122 (1/276.579) | 887.581 (1/225.332) |
20万プレイという試行回数では、
（設定1 M+2SD のBIG回数） < （設定6 M-2SD のBIG回数）
となっています。
低設定の超引き強よりも高設定の超引き弱の方が、多くBIG を引いてるわけです。
結局のところ長い目で見れば、収支は引きよりも設定に依存するということで。
■ 参考サイト
ボーダー理論の甘い罠
ボーダー理論、ボーダーラインを中心にパチンコを数学的に考察するサイト
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