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確率変数の期待値

離散的な確率変数 X の確率分布が以下のように示されている時、

変数 X x₁ x₂ ...... x_n

確率 P p₁ p₂ ...... p_n

　E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + ... + x_np_n

を「期待値（平均）」と言う。

わかりやすく書くと…、

ある項目においていくつかの値があり、その確率がわかっている時、
各（値 * 確率）をすべて足したものが期待値です。

具体的な例を出してみると簡単です。

例 1 ）
8割の確率で 1万円儲かるけれど、2割の確率で1万円損をする儲け話があるとします。
この期待値は 10000 * 0.8 + (-10000) * 0.2 = 6000（円）となります。

例 2 ）
サイコロを振って出目によって以下のような配当がついているとします。
ちなみに、1回振るのに 1200円かかります。

出目	配当金
1	3000 円
2	0 円
3	1000 円
4	0 円
5	2000 円
6	0 円

ただしく作られたサイコロだとすれば、どの目が出る確率も 1/6 なので

配当の期待値 = (3000 * 1/6) + (0 * 1/6) + (1000 * 1/6) + (0 *1/6) + (2000 * 1/6) + (0 * 1/6)
             = (3000+1000+2000)/6
             = 1000

配当の期待値は 1000円になりますね。
サイコロを1回ふるのに 1200 円かかるので、平均すると 1回当たり 200円の損になります。

また、上のサイコロの表を収支で表してみると、

出目	収支
1	+1800 円
2	-1200 円
3	-200 円
4	-1200 円
5	+800 円
6	-1200 円

収支の期待値 = (1800 * 1/6) + (-1200 * 1/6) + (-200 * 1/6) + (-1200 * 1/6) + (800 * 1/6) + (-1200 * 1/6)
             = -1200/6
             = -200

収支の期待値は -200円、のようにも計算できます。

各確率に値が対応している時、各 ( 確率 * 値 ) を全て足したものが期待値（平均）、というわけです。

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では、パチスロでの例を挙げてみましょう。

以下のような純Aタイプのパチスロがあったとします。

BIG確率	68/16384 (= 1/240.941)
BIG獲得枚数	400 枚
1k当たりのプレイ数	33.000 P

（REGは無し）

例 3 ） 上記機種での差枚数の期待値

さて、差枚数の期待値を考えてみましょう。
　（1P当たりの差枚数） = （1P当たりのコイン増加） - （1P当たりのコイン消費）　から求めます。

まず、通常時に消費するコインを計算します。

1k当たり 33.000 P 回るということは、50枚のコインで 33P 回せるということです。
では、何枚のコインで 1 P回せるかというと

1P回すのに必要なコイン = 50/33
                       = 1.51515... (枚）

次に、先ほどサイコロの例で出したような確率と配当の表を BIG のみに着目して書いてみると、

乱数取得	獲得コイン
1 ～ 68	400枚獲得
69 ～ 16384	0枚獲得

1P当たりの BIG によるコイン増加は

68/16384 * 400  = 1.66015625 （枚）

となります。

よって、差枚数は

1P当たりの差枚数 = (1P当たりの BIG によるコイン増加) - (1P回すのに必要なコイン)
                 = 1.66015625 - 1.51515151
                 = 0.14500474

1P当たりの平均差枚数は +0.145 （枚）となりますね。

機械割を計算してみると、

 機械割 = （1P 当たりの払い出し枚数） / （1P 当たりの投入枚数） * 100
        = (68/16384 * 400 + 3 - 1.51515)/3 * 100   # 1Pにつき 1.51515...枚の消費 = 1Pにつき小役で (3 - 1.51515...) の払い出し
        = 104.833

およそ 104.833 % です。

例 4 ） 上記機種での BIG 当選までの投資額の期待値

この機種での BIG 当選までに平均いくらかかるかを考えてみましょう。

BIG確率 1/240.941 なので、平均 240.941 P にBIG当選。
240.941/33.000 = 7.301 (k)
平均すると 7301（円）と計算することもできますが、確率分布からも計算してみます。

BIG当選プレイと確率の分布を表にしてみると

BIG 当選プレイ	BIG当選までに消費するコイン	確率
1	1.515 * 1	68/16384
2	1.515 * 2	(1 - 68/16384) * 68/16384
3	1.515 * 3	(1 - 68/16384)^2 * 68/16384
4	1.515 * 4	(1 - 68/16384)^3 * 68/16384
……	……	……
n	1.515 * n	(1 - 68/16384)^(n-1) * 68/16384

この表において、各「BIG当選までに消費するコイン * その確率」を全て足すと（n=10000 まで計算）
BIG当選までに消費するコインの期待値 = 365.056（枚）です。
コイン1枚20円なので、 365.056 * 20 = 7301.12 （円）

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では次に、実際の機種での例を。

5号機の サンダーV スペシャルの設定 1 （カウンタ 500 Pから打ち始め）で考えてみます。

BIG 出現率	1/297.891
BIG 獲得枚数	335.811 （枚）
Middle BIG 出現率	1/910.222
Middle BIG 獲得枚数	248.000 （枚）
1k当たりのプレイ数	34.550 P
通常時（天井 RT 中）	1P当たり + 0.408 (枚）

サンダーV スペシャルには、上記のように BIG と Middle BIG の2種類が存在します。

また、カウンタが 1001P から天井RTに突入してリプレイ確率が大幅にアップし、
1P当たり +0.408（枚）のコイン増加が見込めます（天井救済措置）。

では、まず BIG によるコイン増加から計算します。
BIG が2種類あって面倒なので合成してしまいます。

BIG 合成確率 = 1/297.891 + 1/910.222
             = 1/224.438

BIG 合成獲得枚数 = (335.811 * 224.438/297.891) + (248.000 * 224.438/910.222)
                 = 314.158

BIG確率 1/224.438 、獲得枚数 314.158 （枚）という 1種類の BIG で考えればよいことになります。

次に通常時のコイン減少分ですが、天井前と天井後で値が違います。

■　天井前

1k当たりのプレイ数が 34.550 P。
50枚のコインを使って34.550P 回るということは、 1P当たり 50/34.550 = 1.447（枚）のコインを消費していることになります。

500 P から打ち始めた時の天井到達前の差枚数を表にしてみます。

BIG当選プレイ（実際のプレイ数）	501 P　(1 P)	502 P　(2 P)	.........	1000　(500 P)
確率	1/224.438	223.438/224.438 * 1/224.438	.........	(223.438/224.438)^499 * 1/224.438
BIG当選までの消費コイン	(-1.447)*1	(-1.447)*2	.........	(-1.447)*500
BIG消化後の差枚数	(-1.447)*1 -3+314.158	(-1.447)*2 -3+314.158	.........	(-1.447)*500 -3+314.158

（成立ゲームでは揃えないものとした。差枚数の所の「-3」は、次ゲームで揃えるために使用するコイン。）

■　天井後

天井後は、1Pに付き +0.408枚となります。

BIG当選プレイ（実際のプレイ数）	1001 P　(501 P)	1002 P　(502 P)	.........	n　(n-500 P)
確率	(223.438/224.438)^500 * 1/224.438	(223.438/224.438)^501 * 1/224.438	.........	(223.438/224.438)^(n-501) * 1/224.438
BIG当選までの消費コイン	(-1.447)*500 +0.408	(-1.447)500 +(0.4082)	.........	(-1.447)500 + 0.408(n-500)
BIG消化後の差枚数	(-1.447)*500 +0.408 -3+314.158	(-1.447)500+(0.4082) -3+314.158	.........	(-1.447)500 + 0.408(n-500) -3+314.158

この2つの表の　(確率) * (BIG消化後の差枚数) を全てたすと +31.040（枚）。（n=20000 程度まで計算）
500P から打ち始めてボーナス後即ヤメした場合、1回当たり +31.040（枚） = +620.8 （円）ですね。

また、上の表の（確率） * （BIG当選までの消費コイン）を全てたすと -280.118（枚）。
5.602 k 投資、ということになります。

この時の機械割は

機械割 = ( 差枚数 / プレイ数 * 3 ) * 100 + 100
       = 31.040 / (224.438*3) * 100 +100   # BIG当選までの平均プレイ数は 224.438 P
       = 104.610

104.610 % となります。

ちなみに同様の計算を 250P、700P 打ち始めから計算したら以下のようになりました。

打ち始め	平均投資額	平均差枚数	機械割
250 P～	310.143 （枚）（6.203 k）	+ 1.015 （枚） +20.3 （円）	100.151 (%)
700 P～	215.710 （枚）（4.314 k）	+95.448 （枚） +1908.96 （円）	114.176 (%)

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変数 X	x₁	x₂	......	x_n
確率 P	p₁	p₂	......	p_n